Problema: e límite di mesa
Un Martingale di $10 na un mesa di $500. Kuantu biaha e ta kibra, kuantu e ta pèrdè ora e kibra, i subi e límite ta yuda?
Seis pèrdida un tras di otro ta kibr’é: 1,8% pa siklo, mas o ménos 60% di seshon di 100 bira. E kibramentu ta kosta $630. Subi e límite te $5.000 ta hasi e kibramentu mas raro (0,25% pa siklo) i mas grandi ($5.110). E pèrdida spera pa dòler apostá ta 2,70% na kualke límite.
E problema
Un hugadó ta aposta $10 riba kòráapostaKòráAposta di pago igual riba e 18 number kòrá. Franses: rouge.Lesa kompleto → i ta dobla despues di kada pèrdida, i ta bolbe na e base despues di un ganansia. E máksimo di e mesa ta $500. (a) Kuantu pèrdida un tras di otro ta kibra e progreshonstrategiaProgreshonKualke regla ku ta kambia e montante di aposta segun resultado anterior. Progreshon negativo ta sub'é despues di pèrdida, positivo despues di ganansia.Lesa kompleto →? (b) Kiko ta e probabilidatmatemátikaProbabilidatChèns di un resultado, di 0 te 1 òf di 0% te 100%. Un number: 1/37 = 2,70%.Lesa kompleto → pa siklo? (c) Kiko ta pèrdè na e kibramentu? (d) Kon un límite di $5.000 ta kambia e kontestanan? (e) Tin un límite ku ta hasi e sistema rentabel?
Solushon (a)–(c)
Montantenan: 10, 20, 40, 80, 160, 320. E di shete lo ta 640 > 500, p’esei seis pèrdida ta kibr’é. (b) p(pèrdida) = 19/37 riba kòrá; (19/37)⁶ = 0,0183, mas o ménos 1,8% pa siklo. Un siklo ta dura mas o ménos dos bira na promedio, p’esei un seshon di 100 bira tin aproksimadamente 50 siklo i p(por lo ménos un kibramentu) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, loke ta 63 unidatplakaUnidatE montante di aposta básiko ku un sistema òf un hugadó ta traha kuné. Progreshonnan ta deskribí na unidat pa nan ta aplikabel na kualke mesa.Lesa kompleto → base, kontra e $10 ku e siklo tabata purba gana.
Solushon (d)
Na $5.000: montante te 2.560 ta pèrmití; e di dies montante, 5.120, ta wòrdu rechasá. Nuebe pèrdida ta kibr’é: (19/37)⁹ ≈ 0,25% pa siklo, mas o ménos 11% di seshon di 100 bira. Pèrdida na e kibramentu: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. E hugadó a kumpra un katástrofe mas raro na preis di un mas grandi. Den hopi seshon e kosto spera di kibramentu ta p × pèrdida ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 pa siklo na e límite di $500 i 0,0025 × 5.110 = $12,8 na $5.000; e ta, den rondamentu, e mesun number, i e ta e pèrdida speramatemátikaPèrdida speraBalor spera multiplicá ku e suma total apostá; e suma promedio pèrdí den un seshon òf un periodo.Lesa kompleto → di e siklo mas e $10 ku e siklonan ganador ta gana.
Solushon (e)
No. Pèrdida spera pa siklo = (montante total spera den e siklo) / 37, na kualke límite, pasobra kada aposta ta −1/37 di su mes. E límite ta disidí solamente kon e pèrdida ta wòrdu distribuí entre hopi ganansia chikí i poko pèrdida grandi. Sin límite i ku un kapital di hungaplakaKapital di hungaE suma total ku bo a pone un banda pa hunga. Maneho di kapital di hunga ta disidí kuantu di dje bo ta riska pa aposta i pa seshon.Lesa kompleto → infinito e progreshon lo “funshoná”, den sentido ku e lo no kibra nunka, i e lo aposta tambe un montante sin límite ku un pèrdida spera di 2,70% di e montante sin límite ei. E límite di mesamesaLímite di mesaAposta mínimo i máksimo permití. E máksimo ta loke ta para progreshonnan ku ta dobla.Lesa kompleto → no ta loke ta stop MartingalestrategiaMartingaleProgreshon ku ta dobla e aposta despues di kada pèrdida. Mira e sekshon Strategia pa loke e ta hasi i loke e no ta hasi.Lesa kompleto → di funshoná. Aritmétika ta.
Dos mesa real
E ehèmpel di Thorp ta un mesa di $1 ku un máksimo di $1.000, unda un hugadó ta spera di gana $30 pa sena un dòler pa biaha. E montantenan 1, 2, 4 … 512 ta pèrmití dies aposta, p’esei dies pèrdida un tras di otro ta kibra e progreshon: un biaha den 785 siklo riba un rueda europeo (un biaha den 613 riba un merikano), na un kosto di $1.023. Trinta siklo ta logra tur 96,2% di e biaha. E otro 3,8% ta pèrdè mas o ménos $1.000, i e resultado promedio di e anochi ta −$9,17, loke ta eksaktamente 1/37 di e $339 ku e trinta siklonan ta aposta na promedio. Un mesa di $5 ku un máksimo di $2.000 no ta diferente: montante te $1.280 ta pèrmití nuebe aposta, i e kibramentu ta bini un biaha den 403 siklo riba un rueda europeo (un biaha den 323 riba un merikano) i ta kosta $2.555.
Un hugadó riku
Duna e progreshon un kapital di hunga profundo en bes di un límite abou: 1.000 unidat, un base di un unidat i 1.000 bira riba kòrá, ku ta kuminsá di nobo na un unidat kada biaha ku e siguiente doblamentu ta mas ku loke a sobra. Nos a simulá un mion anochi asina. Riba un rueda europeo 52% ta terminá ku ganansia, 21% ta pèrdè tur kos, i e resultado promedio ta −124 unidat. Asta den un hunga sin seroruedaSeroE úniko kashi bèrdè ku ningun aposta di pago igual, di dosena òf di kolòm no ta kubri; e fuente di e ventaha di kas. Tambe: un sero, 0.Lesa kompleto →, unda kada aposta ta hustu, solamente mas o ménos 60% lo terminá ku ganansia. E anochi usual ta un ganansia chikí; e promedio ta wòrdu pagá pa e anochinan ku ta terminá na sero.
E lès
Kasinonan ta pone límite pa limitá nan mes varianzamatemátikaVarianzaUn midí di kuantu resultadonan ta plama rònt di e balor spera. Haltu pa aposta riba un number, abou pa aposta di pago igual.Lesa kompleto →, no pa derotá sistema. Derotá Martingale ta un efekto sekundario ku nan ta kontentu di tin, i e aritmétika lo derot’é tòg. Un hugadó ku ta kere ku e límite ta e problema a lokalisá e baranka i a konfundi’é ku e baha.
Fórmula
Preguntanan
E ta pèrmití bo sobrebibí te un límite mas haltu, unda e kibramentu ta mas raro i mas grandi. E pèrdida spera pa dòler no ta kambia.
Montantenan 10, 30, 70, 150, 310: e límite di $500 ta wòrdu yegá despues di sinku pèrdida, i e kibramentu ta kosta $570. Mesun 2,70%.
Pa un hugadó so no por aposta mas ku loke e reserva di kasino por paga sin problema. Maneho di varianza.
Pret ku matemátika
Purba nan bo mes promé. Kada solushon ta sintá skondí; habri e ora bo ta kla.
Un MartingalestrategiaMartingaleProgreshon ku ta dobla e aposta despues di kada pèrdida. Mira e sekshon Strategia pa loke e ta hasi i loke e no ta hasi.Lesa kompleto → ta kuminsá na $100 riba kòráapostaKòráAposta di pago igual riba e 18 number kòrá. Franses: rouge.Lesa kompleto → i ta permití su mes maksimo n aposta pa siklo: despues di n pèrdida un tras di otro e ta entregá i ta kuminsá di nobo. Skirbi e resultado promedio di un siklo komo un fórmula den n, i kalkul’é pa 5, 6 i 7 aposta riba un rueda europeo.
Mustra e solushon
Kontesta E promedio ta 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 pa 5 aposta, −$17,35 pa 6 i −$20,52 pa 7. Permití mas aposta ta hasi e siklo promedio mas malu, no mihó.
Un siklo ta gana $100 ku ménos tur n apostanan pèrdè, loke ta pasa ku chèns qⁿ, kaminda q = 19/37. Ora nan tur pèrdè, e montantenan 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ ta suma 100 × (2ⁿ − 1). Pues e promedio ta 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Aki 2q = 38/37, un tiki mas ku 1, pues (2q)ⁿ ta krese ku n i e promedio ta baha: n = 5 ta duna 1,1426 i −$14,26; n = 6 ta duna 1,1735 i −$17,35; n = 7 ta duna 1,2052 i −$20,52. Un trapi mas largu ta pèrdè ménos biaha, den 3,6%, 1,8% i 0,9% di e siklonan, pero kada pèrdida ta dos biaha mas grandi, i mas plaka ta krusa e mesa kada siklo, na 2,70% di kada aposta.
Riba un rueda merikano 2q = 40/38 i e sifranan ta −$29,24, −$36,04 i −$43,20 (Taylor, 2021). Den un hunga sin seroruedaSeroE úniko kashi bèrdè ku ningun aposta di pago igual, di dosena òf di kolòm no ta kubri; e fuente di e ventaha di kas. Tambe: un sero, 0.Lesa kompleto → 2q = 1, i kada siklo ta duna eksaktamente sero na promedio, sin importá kon largu e trapi ta.
E “Martingale grandi” ta dobla e montante despues di un pèrdida i ta agregá un unidatplakaUnidatE montante di aposta básiko ku un sistema òf un hugadó ta traha kuné. Progreshonnan ta deskribí na unidat pa nan ta aplikabel na kualke mesa.Lesa kompleto →, pues e montantenan ta 1, 3, 7, 15, 31 … Kuantu bo ta ariba ora e promé ganansia bini riba e di 1, 2, 3 òf k aposta? Ku un unidat di $10 i un máksimo di $500, kuantu biaha un siklo ta kibra, i kuantu un siklo ta kosta na promedio?
Mustra e solushon
Kontesta Un ganansia riba e aposta k ta laga bo k unidat ariba: +1, +2, +3 i asina sigui. Na $10 i $500 e siklo ta kibra despues di sinku pèrdida, 3,57% di e siklonan, pa −$570. Na promedio un siklo ta pèrdè $2,32 di $85,73 apostá: 2,70%.
E montante k ta 2ᵏ − 1 unidat: 1, 3, 7, 15, 31. E promé k − 1 montantenan ta suma 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Un ganansia riba e aposta k ta paga 2ᵏ − 1, pues e siklo ta kaba (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unidat ariba: un unidat ekstra pa kada pèrdida promé ku e ganansia.
Na $10 pa unidat e montantenan ta $10, $30, $70, $150 i $310; e siguiente, $630, ta riba e máksimo di $500. Sinku pèrdida un tras di otro, (19/37)⁵ = 3,57%, ta kosta 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Promedio: e ganansianan ta trese $10 × k ku chèns (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 pa k = 1 te 5, i e kibramentu ta tuma $570 ku chèns 3,57%; huntu −$2,32. E plaka apostá ta $85,73 na promedio pa siklo, i 2,32/85,73 = 2,70%. E Martingale ordinario na e mesun mesa ta kibra despues di seis pèrdida, 1,83% di e siklonan, pa −$630, i ta pèrdè $1,74 di $64,20 apostá: atrobe 2,70%.
Un hugadó ta plania un Martingale riba kòrá ku un promé aposta di $1 na un mesa ku límite di $1.000, pues dies aposta ta posibel: $1, $2, $4 i asina sigui te $512. Kuantu biaha un siklo ta pèrdè tur dies, kuantu tempu esei ta tuma na promedio, i kuantu biaha un anochi di 200 aposta ta kaba asina?
Mustra e solushon
Kontesta Un siklo ta pèrdè tur dies mas o ménos un biaha den 784, ku ta kosta $1.023. Esei ta mas o ménos 1.600 aposta na promedio, i un anochi di 200 aposta ta dal kontra e muraya mas o ménos 11% di tempu. Un siklo ainda ta pèrdè $0,31 na promedio di $11,31 apostá: 2,70%.
Un aposta riba kòrá ta pèrdè ku chèns 19/37, e sero inkluí. Dies un tras di otro: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, mas o ménos 1 den 784. E montantenan 1 + 2 + 4 + … + 512 ta suma $1.023.
Un siklo ta tuma 2,05 aposta na promedio, pues 784 siklo ta tuma mas o ménos 1.600 aposta. Kontá bira pa bira, un seri di dies pèrdida ta aparesé un kaminda den 200 aposta 11,3% di tempu.
Entre desasternan e hugadó ta gana $1 pa siklo: mas o ménos $783 promé ku esun malu, despues −$1.023, mas o ménos −$240 riba henter e tramo. Pa siklo: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Plaka apostá pa siklo: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. I −0,31/11,31 = −2,70%.
Kompará un promé aposta di $10 na un límite di $500, seis aposta: e muraya ta bini un biaha den 55 siklo, i un anochi di 200 aposta ta top’é 84% di tempu. Un límite mas haltu ta hasi e kibramentu mas raro i mas grandi, no mas barata.
Un poko di hari
Mas raro i mas grandi, na kada límite. E produkto ta konstante.
Fuentenan
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.